poissonPmf = (k, lambda) => {
let f = 1
for (let i = 2; i <= k; i++) f *= i
return Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k) / f
}
tau = (x, y, lh, la, r) => {
if (x === 0 && y === 0) return 1 - lh * la * r
if (x === 0 && y === 1) return 1 + lh * r
if (x === 1 && y === 0) return 1 + la * r
if (x === 1 && y === 1) return 1 - r
return 1
}
lambdaH = 1.48
lambdaA = 1.23
rho = -0.1
maxTore = 6
matrixRoh = d3.range(0, maxTore + 1).flatMap(x =>
d3.range(0, maxTore + 1).map(y => ({
x, y, p: poissonPmf(x, lambdaH) * poissonPmf(y, lambdaA) * tau(x, y, lambdaH, lambdaA, rho)
}))
)
matrixSumme = d3.sum(matrixRoh, d => d.p)
matrix = matrixRoh.map(d => ({ x: d.x, y: d.y, p: d.p / matrixSumme }))
pHeim = d3.sum(matrix.filter(d => d.x > d.y), d => d.p)
pUeber = d3.sum(matrix.filter(d => d.x + d.y >= 3), d => d.p)
korrData = [
{ art: "naiv: P(Heim) × P(Über 2,5)", wert: pHeim * pUeber },
{ art: "echt: gemeinsam aus der Matrix", wert: d3.sum(matrix.filter(d => d.x > d.y && d.x + d.y >= 3), d => d.p) }
]Im Artikel WM Tipps, mit/ohne Plan habe ich aus Quoten eine Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis gebaut, die Ergebnis-Matrix. Dort ging es darum, den besten Tipp zu finden. Hier drehe ich die Frage um: Wo verrechnet sich der Buchmacher so, dass eine Wette sich im Schnitt lohnt?
Die kurze Antwort: bei einzelnen Wetten fast nie, bei Kombis manchmal. Und der Grund dafür ist Korrelation.
Was eine Value-Wette ist
Eine Wette hat Value, wenn ihr Erwartungswert positiv ist. Der Erwartungswert (EV) ist einfach zu rechnen:
\[\text{EV} = \text{Modell-Wahrscheinlichkeit} \times \text{Quote} - 1\]
Die Wahrscheinlichkeit mal die Quote ist, was man pro eingesetztem Euro im Schnitt zurückbekommt. Minus eins, weil der Euro Einsatz weg ist. Ist das Ergebnis über null, gewinnt man auf lange Sicht.
Bei einzelnen Wetten geht das fast nie auf. Der Buchmacher schätzt die Wahrscheinlichkeit ungefähr so gut wie mein Modell (beide verarbeiten dieselbe öffentliche Information), und oben drauf legt er seine Marge. Meine Modell-Wahrscheinlichkeit mal seine Quote liegt deshalb meistens unter eins. Bei den WM-Halbfinals war jede einzelne Wette im Minus.
Der Trick mit der Korrelation
Interessant wird es bei Kombiwetten, also zwei Bedingungen in einer Wette, etwa „Heimsieg und mehr als 2,5 Tore”. Buchmacher preisen solche Kombis oft so, als wären die zwei Bedingungen unabhängig: Sie multiplizieren grob die Einzelquoten. In Wirklichkeit hängen die beiden aber zusammen. Ein Heimsieg des Favoriten geht überdurchschnittlich oft mit vielen Toren einher. Die zwei Bedingungen sind positiv korreliert.
Genau da entsteht die Kante. Die echte gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist höher, als das naive Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten vermuten lässt. Ich muss sie nur richtig ausrechnen, und dafür habe ich die Matrix schon.
Die echte gemeinsame Wahrscheinlichkeit (grün) liegt über dem naiven Produkt (lila). Rechnet der Buchmacher mit dem naiven Wert, ist seine Kombiquote zu hoch, und genau dann entsteht Value.
Wie das Programm rechnet
Für jedes Kombi-Angebot macht es drei Dinge.
1. Die echte gemeinsame Wahrscheinlichkeit aus der Matrix holen. Nicht „P(Ergebnis) × P(Über/Unter)“, das wäre der falsche, unabhängige Weg. Stattdessen geht es direkt durch die Matrix und summiert nur die Felder, die beide Bedingungen zugleich erfüllen:
für jede Zelle x:y in der Matrix:
wenn (Ergebnis-Bedingung erfüllt) UND (x+y erfüllt Über/Unter):
gemeinsameWkt += M[x][y]Für „Heimsieg + Über 2,5” zählen also nur Zellen mit x > y und x + y > 2,5, etwa 2:1, 3:1 oder 3:0. Deren Wahrscheinlichkeiten addiert ergeben die echte gemeinsame Wahrscheinlichkeit, die Korrelation ist darin automatisch enthalten.
2. Den Erwartungswert bilden. EV = gemeinsameWkt × Kombiquote − 1.
3. Nur echte Value-Wetten behalten. Kommt ein positiver EV heraus, wandert die Kombi in die Liste, sortiert nach EV. Die lukrativste steht oben. Pro Treffer notiere ich:
| Feld | Bedeutung |
|---|---|
| label | z. B. „Heimsieg + Über 2,5” |
| modelProb | Modell-Wahrscheinlichkeit der Kombi |
| comboOdds | die angebotene Kombiquote |
| ev | Erwartungswert, größer als null |
Warum das überhaupt Value finden kann
Der ganze Vorteil liegt in dem einen Unterschied: Der Buchmacher preist die Kombi oft, als wären die Beine unabhängig. Mein Modell rechnet die wahre gemeinsame Wahrscheinlichkeit aus der Matrix. Ist die höher, als die Kombiquote impliziert, entsteht positiver EV. Genau dort steckt die Kante, die es bei Einzelwetten (wo die Marge alles auffrisst) nicht gibt.
Wo die Grenze liegt
Der Value-Finder rechnet nur, er braucht die echten Kombiquoten des Buchmachers als Eingabe. Die kommen nicht aus dem normalen Einzelquoten-Scraper, sondern müssen aus der Kombi-Ansicht geholt werden. Ohne diese Quoten kann das Programm kein Value ausweisen.
Der Zwilling dazu macht das Umgekehrte: Er braucht keine Quoten, sondern listet die wahrscheinlichsten Kombis aus Ergebnis und Über/Unter auf (Wahrscheinlichkeit über 50 %). Nützlich, um selbst eine möglichst sichere Kombi zusammenzustellen.
Und die ehrliche Einordnung: Das Ganze ist eher ein Werkzeug zum Suchen als eine Geldmaschine. Die gefundene Kante muss die Marge übersteigen, die Ergebnisse schwanken stark, und ohne die passenden Kombiquoten bleibt der Finder stumm.