quoten = ({ heim: 2.30, remis: 3.30, gast: 3.20 })
implizit = [
{ typ: "Heimsieg", roh: 1 / quoten.heim },
{ typ: "Remis", roh: 1 / quoten.remis },
{ typ: "Gastsieg", roh: 1 / quoten.gast }
]
overround = d3.sum(implizit, d => d.roh)
marginStapel = [
...implizit.map(d => ({ gruppe: "1 / Quote", typ: d.typ, wert: d.roh })),
...implizit.map(d => ({ gruppe: "fair (durch Summe geteilt)", typ: d.typ, wert: d.roh / overround }))
]In meinem Freundeskreis wurde zum Beginn der Fußball-WM eine Tipprunde gestartet. Die Regel dahinter: Wer am Ende Letzter wird, organisiert ein Grillen. Das Ziel ist also, nicht zu verlieren.
Mein Problem: Fußball interessiert mich nicht. Mit Wetten hatte ich dagegen schon rumgespielt. Der erste logische Schluss war deshalb, das Ganze nicht als Fußball-, sondern als Wettproblem zu behandeln und stur nach den Buchmacher-Quoten zu tippen.
Wie die Punkte fallen
Damit klar ist, worum es geht, kurz das Punktesystem unserer Runde:
- 2 Punkte für die richtige Tendenz, also wer gewinnt oder ob es unentschieden ausgeht.
- 3 Punkte für die richtige Tordifferenz.
- 4 Punkte für das exakte Ergebnis.
Der Haken steckt in dieser Staffelung. Es reicht nicht, den Sieger zu treffen. Die meisten Punkte gibt es fürs genaue Ergebnis, und das macht das Tippen zu mehr als einer Ja-oder-Nein-Frage.
Der Buchmacher weiß mehr als ich
Meine Grundannahme ist dieselbe wie bei der Effizienzmarkthypothese (Fama, 1970): Alles an öffentlich verfügbarer Information kennt der Buchmacher auch, vermutlich sogar mehr, und all das steckt bereits in seinen Quoten. Ich muss den Markt also nicht schlagen, sondern nur abgreifen, was er ohnehin weiß. Dass Quoten der beste frei verfügbare Prognosewert für Spielausgänge sind, ist gut belegt (Forrest et al., 2005; Wunderlich & Memmert, 2018). Warum eine solche aggregierte Markt-Einschätzung so schwer zu schlagen ist, habe ich getrennt notiert: Die Weisheit der Vielen.
Das Problem mit dem wahrscheinlichsten Ergebnis
Beim Tippen nach Quoten stieß ich schnell auf einen Widerspruch. Manchmal ist ein Team klarer Favorit, das wahrscheinlichste Einzelergebnis ist aber ein Unentschieden, etwa 1:1. Tippe ich auf den Favoritensieg, ignoriere ich das wahrscheinlichste Ergebnis. Tippe ich 1:1, wette ich gegen den Favoriten. Reines Quoten-Tippen sagt mir nicht eindeutig, was ich eintragen soll.
Die saubere Lösung ist, nicht auf ein Bauchgefühl zu setzen, sondern die Frage durchzurechnen: für jedes Spiel eine Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis, und daraus der Tipp mit den meisten erwarteten Punkten. Damit das automatisch passiert, habe ich ein kleines Programm gebaut. Es geht in fünf Schritten von der Quote zum Tipp. In diesen Schritten steckt der eigentliche Statistik-Teil, deshalb der Reihe nach. Als durchgehendes Beispiel dient ein Spiel, in dem das Heimteam leichter Favorit ist.
Schritt 1: Die Marge rausrechnen
Eine Quote ist eine verkleidete Wahrscheinlichkeit. Quote 2,00 heißt: Der Buchmacher zahlt das Doppelte des Einsatzes, das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 1/2,00 = 50 %. Rechnet man das für alle drei Ausgänge (Heimsieg, Remis, Gastsieg), stößt man auf ein Problem: Die drei Werte summieren sich auf mehr als 100 %.
Bei unserem Beispielspiel mit den Quoten 2,30 / 3,30 / 3,20 sind das 1/2,30 + 1/3,30 + 1/3,20 = 105 %. Die überschüssigen fünf Prozentpunkte sind kein Rechenfehler, sondern die eingebaute Marge des Buchmachers, sein Gewinn. Wahrscheinlichkeiten müssen aber 100 % ergeben. Also teile ich jeden Wert durch die Summe. Übrig bleiben faire Wahrscheinlichkeiten, die sauber aufgehen: rund 41 % / 29 % / 30 %.
Die linke Säule zeigt die rohen Werte (Summe über 100 %), die rechte die fairen. Der Abstand der linken Säule zur gestrichelten 100-%-Linie ist die Marge.
Schritt 2: Wie viele Tore sind zu erwarten?
Aus den fairen Wahrscheinlichkeiten weiß ich, wie oft Heim gewinnt, wie oft es remis steht, wie oft Gast gewinnt. Für einen Tipp brauche ich mehr: die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse wie 2:1. Dafür brauche ich ein Modell, das Tore erzeugt.
Das übliche Modell ist die Poisson-Verteilung. Sie beschreibt, wie oft ein seltenes Ereignis in einem festen Zeitraum eintritt, wenn die einzelnen Gelegenheiten unabhängig sind. Tore passen gut dazu. Die Verteilung hat nur einen Parameter: λ, die erwartete Anzahl. Ein λ von 1,5 heißt, das Team erzielt im Schnitt 1,5 Tore, mal keins, mal eins, mal drei.
λ kenne ich aber nicht, ich kenne nur die fairen Sieg-, Remis- und Niederlage-Werte. Also drehe ich die Frage um: Welche zwei λ (für Heim und Gast) erzeugen genau diese Wahrscheinlichkeiten? Das Programm sucht sie mit einer Rastersuche. Es probiert viele λ-Kombinationen durch, baut für jede die Ergebnis-Verteilung, misst den Abstand zu den Zielwerten und verfeinert das Raster in vier Durchgängen um die beste Stelle herum. Für unser Beispiel kommt λ = 1,48 für Heim und 1,23 für Gast heraus. Liegt zusätzlich eine Über/Unter-2,5-Quote vor, wird sie mit eingepasst, damit auch die Gesamt-Torzahl stimmt.
So sehen die beiden Tor-Verteilungen bei diesen λ aus: für jedes Team die Wahrscheinlichkeit, keins, eins, zwei … Tore zu schießen.
Schritt 3: Die Ergebnis-Matrix, das Herzstück
Jetzt setze ich beide Teams zusammen. Nehme ich an, dass Heim- und Gast-Tore unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:
\[P(x{:}y) = \text{Poisson}(\text{Heim} = x) \times \text{Poisson}(\text{Gast} = y) \times \tau\]
Das τ ist eine kleine Korrektur. Reine Poisson-Rechnung mit unabhängigen Toren unterschätzt in echten Spielen, wie oft knappe, torarme Ergebnisse vorkommen, vor allem 0:0 und 1:1. Die Dixon-Coles-Korrektur (mit einem Parameter rho = −0,1) schiebt genau die vier Felder 0:0, 1:0, 0:1 und 1:1 etwas zurecht. Am Ende normiere ich die ganze Tabelle auf 100 %.
Das Ergebnis ist eine Matrix: für jedes denkbare Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit. Sie ist das Herzstück, alles Weitere liest sich daraus ab.
Heim-Tore stehen auf der senkrechten, Gast-Tore auf der waagerechten Achse. Je türkiser ein Feld, desto wahrscheinlicher das Ergebnis (Zahlen in Prozent), orange steht für unwahrscheinlich. Am wahrscheinlichsten ist hier 1:1 mit rund 13 %.
Schritt 4: Abgleich mit den Ergebnis-Quoten
Manche Buchmacher bieten auch direkte Quoten auf einzelne exakte Ergebnisse an, etwa auf 2:1 oder 1:1. Wenn es die gibt, mische ich meine Modell-Matrix mit diesen Marktquoten, gewichtet danach, wie sehr ich dem Modell vertraue. Bei den WM-Halbfinals gab es solche Quoten nicht. Dann überspringt das Programm den Schritt, und die Matrix aus Schritt 3 bleibt unverändert. Ich erwähne ihn trotzdem, weil er den Kern zeigt: Das Modell ist kein Dogma, wo der Markt mehr weiß, darf er korrigieren.
Schritt 5: Der punkteoptimale Tipp
Jetzt zahlt sich die Mühe aus. Ich könnte einfach das wahrscheinlichste Ergebnis tippen. Das ist aber selten die beste Wahl, weil das Punktesystem Beinahe-Treffer belohnt: drei Punkte für die richtige Tordifferenz, zwei für die richtige Tendenz.
Also rechne ich für jeden möglichen Tipp aus, wie viele Punkte er im Schnitt bringt. Für einen Tipp gehe ich die ganze Matrix durch, schaue bei jedem echten Ergebnis nach, wie viele Punkte der Tipp dort geben würde, und gewichte das mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Die Summe ist der Erwartungswert des Tipps. Der Tipp mit dem höchsten Erwartungswert wird die Empfehlung.
Am wahrscheinlichsten ist 1:1, empfohlen wird aber 2:1. Der grüne Balken (Empfehlung) ist nicht der gelbe (wahrscheinlichstes Einzelergebnis), weil 2:1 im Schnitt mehr Fälle mit Tordifferenz- und Tendenz-Punkten abdeckt.
Der Zwischenstand
Und, funktioniert es? Bisher ja. Ich führe die Tabelle an, mit etwas Abstand zum Feld:
Punkte pro Mitspieler, anonymisiert. Meine Position ist grün.
Ein Detail macht das Ergebnis für mich überzeugender: Ich habe fünf Spiele schlicht vergessen zu tippen, die mir neun Punkte gebracht hätten. Der Vorsprung entstand also trotz eines selbstverschuldeten Handicaps.
Ehrlich bleiben muss man trotzdem. Das ist eine Saison, ein kleines Feld, eine überschaubare Zahl an Spielen. Zehn Punkte Vorsprung können auch Glück sein. Was der Ansatz zuverlässig liefert, ist nicht der Sieg, sondern das Ausbleiben großer Ausrutscher. Und mehr wollte ich nicht: das Grillen soll jemand anderes organisieren.
Literatur
Fama, E. F. (1970). Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. The Journal of Finance, 25(2), 383–417. https://doi.org/10.2307/2325486
Forrest, D., Goddard, J., & Simmons, R. (2005). Odds-Setters as Forecasters: The Case of English Football. International Journal of Forecasting, 21(3), 551–564. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2005.03.003
Wunderlich, F., & Memmert, D. (2018). The Betting Odds Rating System: Using Soccer Forecasts to Forecast Soccer. PLOS ONE, 13(6), e0198668. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0198668